在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時,其前n項和Sn滿足Sn2=an(Sn-
1
2
).
(1)證明:{
1
Sn
}為等差數(shù)列,并求an
(2)設(shè)bn=
Sn
2n+1
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn
(3)是否存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N*,都有Tn
1
4
(m-8)成立?若存在求出m的最大值;若不存在,請說明理由.
考點:數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)將an=Sn-Sn-1代入已知等式,展開變形、化簡可得
1
Sn
-
1
Sn-1
=2
,證出數(shù)列{
1
Sn
}
為等差數(shù)列,從而,得出Sn的表達(dá)式,進而可以求出an;
(2)將(1)中的Sn的表達(dá)式代入到bn當(dāng)中,用裂項相消法可以求出Tn表達(dá)式;
(3)用Tn的表達(dá)式得出其單調(diào)性,將不等式Tn
1
4
(m-8)轉(zhuǎn)化為T1
1
4
(m-8),最后可以求出符合題m的最大值.
解答: (1)證明:當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1,
Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-
1
2
)=Sn2-
1
2
Sn-SnSn-1+
1
2
Sn-1

∴Sn-1-Sn=2SnSn-1,
1
Sn
-
1
Sn-1
=2
,即數(shù)列{
1
Sn
}
為等差數(shù)列,S1=a1=1,
1
Sn
=
1
S1
+(n-1)×2=2n-1
,∴Sn=
1
2n-1
,
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=
1
2n-1
-
1
2n-3
=-
2
(2n-1)•(2n-3)

an=
1,n=1
-
2
(2n-1)•(2n-3)
,n≥2

(2)解:bn=
Sn
2n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,Tn=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
;

(3)解:Tn
1
4
(m-8)⇒
n
2n+1
1
4
(m-8)⇒m<8+
4n
2n+1
⇒m<8+
4
2+
1
n

8+
4
2+
1
n
是單增數(shù)列,其最小值為8+
4
2+
1
1
=
28
3
.因此m<
28
3
,即存在自然數(shù)m,
使得對任意n∈N*,都有Tn
1
4
(m-8)
成立,且m的最大值為9.
點評:本題考查了數(shù)列求和的方法和等差數(shù)列的相關(guān)知識,屬于中檔題.采用裂項相消法、利用數(shù)列的單調(diào)性和不等式恒成立的處理,是解決問題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ABC=
π
2
,AB=BC=
1
2
AD=2,PA=PB=PC=2.
(1)證明:CD⊥平面PAC;
(2)若E為PC的中點,直線PB與平面AED交于點F,求三棱錐P-AEF的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=3,底面邊長為
3

(1)求異面直線BC1與AA1所成角的大;
(2)求該三棱柱的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形,∠DAB=
π
3
,AC∩BD=O,PO⊥平面ABCD,E、F分別在棱PC、PA上,CE=
1
3
CP,AF=
1
3
AP,G為PD中點,△PBD是邊長為6的等邊三角形.
(Ⅰ)求證:B、E、C、F四點共面;
(Ⅱ)求V四棱錐P-BECF

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知sinα=
5
5
,cos(α-β)=
4
5
,
π
2
<β<α<π,求sinβ.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+bx,f(x)在x=1處的切線斜率為-9,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ) 求f(x)的極值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(x-1)2,其圖象在點(0,1)處的切線為l.
(1)求y=f(x)、直線l及x=3軸圍成圖形的面積;
(2)求y=f(x)、直線x=2及兩坐標(biāo)軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+m)
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)當(dāng)m為何值時,不等式f(x)≥0恒成立?
(3)證明:當(dāng)m∈N且m>1時,方程f(x)=0在[1-m,em-m]內(nèi)有唯一實根.(e為自然對數(shù)的底數(shù);參考公式:2m=C
 
0
m
+C
 
1
m
+C
 
2
m
+…+C
 
m
m

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點,過EF任作一個平面α分別與直線BC,AD相交于點G,H,則下列結(jié)論正確的是
 

①對于任意的平面α,都有直線GF,EH,BD相交于同一點;
②存在一個平面α0,使得GF∥EH∥BD;
③存在一個平面α0,使得點G在線段BC上,點H在線段AD的延長線上;
④對于任意的平面α,都有S△EFG=S△EFH

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同步練習(xí)冊答案