Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=BC=

1

2

AD=2，PA=PB=PC=2．
（1）證明：CD⊥平面PAC；
（2）若E為PC的中點(diǎn)，直線PB與平面AED交于點(diǎn)F，求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接PO、OB，證明PO⊥CD，AC⊥CD，即可證明：CD⊥平面PAC；
（2）利用V_P-AEF=V_A-PEF=

1

4

VA-PBC=

1

4

V_P-ABC=

1

4

×

1

3

×S_△ABC×PO，即可求三棱錐P-AEF的體積．

解答： （1）證明：設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接PO、OB，
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，∴OA=OB=OC，
∵PA=PB=PC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴PO⊥OB，由AC與OB相交可知PO⊥平面ABC，
∴PO⊥CD．
在直角梯形ABCD中，AC=CD=2

2

，
∴AC²+CD²=AD²，
∴AC⊥CD
∵AC∩PO=O，
∴CD⊥平面PAC；
（2）解：∵AD∥BC，BC?平面ADE，AD?平面ADE，
∴BC∥平面ADE，
∵BC?平面PBC，平面BC∩平面ADE=EF，
∴BC∥EF，
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴EF平行且等于

1

2

BC，
∴V_P-AEF=V_A-PEF=

1

4

VA-PBC=

1

4

V_P-ABC=

1

4

×

1

3

×S_△ABC×PO．
在△ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，∴S_△ABC=

1

2

×2×2=2．
∵AC=2

2

，
∵PA=PC=2，O為AC中點(diǎn)，
∴在△POC中，PO=

PC2-OC2

=

2

，
∴V_P-AEF=

1

4

×

1

3

×2×

2

=

2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查三棱錐P-AEF的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中等題．