Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{5}{2}$且a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n-2．
（1）求證：{b_n}是等比數(shù)列，并求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=（4n+1）•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}+1-2}{{a}_{n}-2}$計(jì)算即得數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$可知c_n=（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a₁=$\frac{5}{2}$、a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1，
∴b_n≠2，
又∵b_n=a_n-2，
∴$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}_{n}+1-2}{{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{1}{2}（{a}_{n}-2）}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$，
∵$_{1}={a}_{1}-2=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)、公比均為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴b_n=$\frac{1}{2}•\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=2+b_n=2+$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）解：∵b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴c_n=（4n+1）•b_n=（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=5•$\frac{1}{2}$+9•$\frac{1}{{2}^{2}}$+13•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+9•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（4n-3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=5•$\frac{1}{2}$+4（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{5}{2}$+4•$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（4n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{9}{2}$-（4n+9）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=9-（4n+9）•$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．