【題目】如圖，在梯形ABCD中，，，，為梯形外一點(diǎn)，且平面.

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)二面角的平面角的余弦值為時(shí)，求這個(gè)四棱錐的體積.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）梯形ABCD中，由線段關(guān)系及角度關(guān)系可證明.根據(jù)平面，可知，由線面垂直判定定理即可證明平面；

（2）在中由余弦定理求得，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面BDP的法向量和平面BCP的法向量，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及二面角的平面角的余弦值為，即可求得的值，進(jìn)而求得四棱錐的體積.

（1）證明：在梯形ABCD中，，，

，

.

，

，

，

.

平面ABCD，平面ABCD，

.

又，

平面ACP.

（2）在中，，

.

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，，

則，.

設(shè)平面BDP的法向量，

則，即.取，得，

平面BCP的一個(gè)法向量.

二面角的平面角的余弦值為，，

解得，即，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖①，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，△BCD是等邊三角形.如圖②，將△BCD沿BC折起，使平面BCD⊥平面ABC，記BC的中點(diǎn)為E，BD的中點(diǎn)為M，點(diǎn)F、N在棱AC上，且AF＝3CF，C.

（1）試過(guò)直線MN作一平面，使它與平面DEF平行，并加以證明；

（2）記（1）中所作的平面為α，求平面α與平面BMN所成銳二面角的余弦值.

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【題目】已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，以為圓心，為半徑的圓交的右支于兩點(diǎn)，若的一個(gè)內(nèi)角為，則的離心率為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為，過(guò)軸正半軸一點(diǎn) 且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在實(shí)數(shù)使以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+a,a∈R.

（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)x≥1時(shí)，恒有g(x)=(x+1)f(x)﹣lnx≤0恒成立，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）．規(guī)劃在公路上選兩個(gè)點(diǎn)，，并修建兩段直線型道路，，規(guī)劃要求：線段，上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑．已知點(diǎn)，到直線的距離分別為和（，為垂足），測(cè)得，，（單位：百米）．

（1）若道路與橋垂直，求道路的長(zhǎng)；

（2）在規(guī)劃要求下，和中能否有一個(gè)點(diǎn)選在處？并說(shuō)明理由；

（3）在規(guī)劃要求下，若道路和的長(zhǎng)度均為（單位：百米），求當(dāng)最小時(shí)，、兩點(diǎn)間的距離．

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【題目】隨著甜品的不斷創(chuàng)新，現(xiàn)在的甜品無(wú)論是造型還是口感都十分誘人，有顏值、有口味、有趣味的產(chǎn)品更容易得到甜品愛(ài)好者的喜歡，創(chuàng)新已經(jīng)成為烘焙作品的衡量標(biāo)準(zhǔn).某“網(wǎng)紅”甜品店生產(chǎn)有幾種甜品，由于口味獨(dú)特，受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，好多外地的游客專門到該甜品店來(lái)品嘗“打卡”，已知該甜品店同一種甜品售價(jià)相同，該店為了了解每個(gè)種類的甜品銷售情況，專門收集了該店這個(gè)月里五種“網(wǎng)紅甜品”的銷售情況，統(tǒng)計(jì)后得如下表格：

甜品種類

A甜品

B甜品

C甜品

D甜品

E甜品

銷售總額（萬(wàn)元）

10

5

20

20

12

銷售額（千份）

5

2

10

5

8

利潤(rùn)率

0.4

0.2

0.15

0.25

0.2

（利潤(rùn)率是指：一份甜品的銷售價(jià)格減去成本得到的利潤(rùn)與該甜品的銷售價(jià)格的比值.）

（1）從該甜品店本月賣出的甜品中隨機(jī)選一份，求這份甜品的利潤(rùn)率高于0.2的概率；

（2）從該甜品店的五種“網(wǎng)紅甜品”中隨機(jī)選取2種不同的甜品，求這兩種甜品的單價(jià)相同的概率；

（3）假設(shè)每類甜品利潤(rùn)率不變，銷售一份A甜品獲利元，銷售一份B甜品獲利元，…，銷售一份E甜品獲利元，依據(jù)上表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，隨機(jī)銷售一份甜品獲利的期望為，設(shè)，試判斷與的大小.

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【題目】在四棱錐中，平面ABCD，底面四邊形ABCD為等腰梯形，且，E，F分別為AB，PD的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求點(diǎn)C到平面DEF的距離.

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【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求面積的最大值.

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