【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+a,a∈R.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當x≥1時,恒有g(x)=(x+1)f(x)﹣lnx≤0恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(1)當a≤0時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,無單調(diào)減區(qū)間;當a>0時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為;(2).
【解析】
(1)求導(dǎo),對參數(shù)進行分類討論,求出對應(yīng)情況下的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)求出的導(dǎo)函數(shù),進行二次求導(dǎo),通過討論導(dǎo)數(shù)的正負,判斷函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合題意即可進行求解.
(1)函數(shù)的定義域(0,+∞),,
(i)當時,恒成立,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
(ii)當a>0時,由可得,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,
由可得,x,此時函數(shù)單調(diào)遞減.
故當a≤0時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,無單調(diào)減區(qū)間;
當a>0時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.
(2)當x≥1時,g(x)=(x+1)(lnx﹣ax+a)﹣lnx=xlnx﹣ax2+a,
=lnx+1﹣2ax,
令h(x)=lnx+1﹣2ax,
則.
(i)當a≤0時,>0恒成立,h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增.
h(x)≥h(1)=1﹣2a>0,
即0,故g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)≥g(1)=0,不合題意;
(ii)當0<a時,h(x)在[1,]上單調(diào)遞增,
=1﹣2a>0,此時g(x)在[1,]上單調(diào)遞增,
所以g()>g(1)=0,不合題意;
(iii)當a時,,h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以,故≤0,
所以g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以g(x)≤g(1)=0,所以g(x)≤0恒成立.
綜上所述,的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在傳染病學(xué)中,通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起,到機體出現(xiàn)反應(yīng)或開始呈現(xiàn)該疾病對應(yīng)的相關(guān)癥狀時止的這一階段稱為潛伏期. 一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息,得到如下表格:
潛伏期(單位:天) | |||||||
人數(shù) |
(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系,以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為潛伏期與患者年齡有關(guān);
潛伏期天 | 潛伏期天 | 總計 | |
50歲以上(含50歲) | |||
50歲以下 | 55 | ||
總計 | 200 |
(3)以這1000名患者的潛伏期超過6天的頻率,代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過6天發(fā)生的概率,每名患者的潛伏期是否超過6天相互獨立. 為了深入研究,該研究團隊隨機調(diào)查了名患者,其中潛伏期超過6天的人數(shù)最有可能(即概率最大)是多少?
附:
,其中.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習慣,粽子又稱粽籺,俗稱“粽子”,古稱“角黍”,是端午節(jié)大家都會品嘗的食品,傳說這是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原.如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖所示粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為____;若該六面體內(nèi)有一球,則該球體積的最大值為____.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一工廠計劃生產(chǎn)某種當?shù)卣刂飘a(chǎn)量的特殊產(chǎn)品,月固定成本為1萬元,設(shè)此工廠一個月內(nèi)生產(chǎn)該特殊產(chǎn)品萬件并全部銷售完.根據(jù)當?shù)卣螽a(chǎn)量滿足,每生產(chǎn)件需要再投入萬元,每1萬件的銷售收入為(萬元),且每生產(chǎn)1萬件產(chǎn)品政府給予補助(萬元).(注:月利潤=月銷售收入+月政府補助-月總成本).
(1)寫出月利潤(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量(萬件)的函數(shù)解析式;
(2)求該工廠在生產(chǎn)這種特殊產(chǎn)品中所獲得的月利潤最大值(萬元)及此時的月生產(chǎn)量(萬件)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校共有名學(xué)生,其中男生人,為了解該校學(xué)生在學(xué)校的月消費情況,采取分層抽樣隨機抽取了名學(xué)生進行調(diào)查,月消費金額分布在之間.根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生在校月消費金額的頻率分布直方圖如圖所示:
將月消費金額不低于元的學(xué)生稱為“高消費群”.
(1)求的值,并估計該校學(xué)生月消費金額的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從月消費金額落在,內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取人,再從這人中隨機抽取人,記被抽取的名學(xué)生中屬于“高消費群”的學(xué)生人數(shù)為隨機變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(3)若樣本中屬于“高消費群”的女生有人,完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為該校學(xué)生屬于“高消費群”與“性別”有關(guān)?
(參考公式:,其中)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,,,,為梯形外一點,且平面.
(1)求證:平面;
(2)當二面角的平面角的余弦值為時,求這個四棱錐的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐中,底面ABC,,E,F分別為棱PB,PC的中點,過E,F的平面分別與棱AB,AC相交于點D,G,給出以下四個結(jié)論:
①;②;③;④.
則以上正確結(jié)論的個數(shù)是
A.1B.2C.3D.4
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】廣東省的生產(chǎn)總值已經(jīng)連續(xù)30年位居全國第一位,如表是廣東省從2012年至2018年7年的生產(chǎn)總值以人民幣(單位:萬億元)計算的數(shù)據(jù):
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代號x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
廣東省生產(chǎn)總值y(單位:萬億元) | 5.71 | 6.25 | 6.78 | 7.28 | 8.09 | 8.97 | 9.73 |
(1)從表中數(shù)據(jù)可認為x和y的線性相關(guān)性較強,求出以x為解釋變量、y為預(yù)報變量的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(2)廣東省2018年人口約為1.13億,德國2018年人口約為0.83億.從人口數(shù)量比較看,廣東省比德國人口多,但德國2018年的生產(chǎn)總值為4.00萬億美元,以(1)的結(jié)論為依據(jù),預(yù)測廣東省在哪年的生產(chǎn)總值能超過德國在2018年的生產(chǎn)總值?
參考數(shù)據(jù):yi=52.81, xiyi=230.05, yi2=411.2153, xi2=140.
貨幣兌換:1美元≈7.03元人民幣
參考公式:回歸方程x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列與滿足:,且為正項等比數(shù)列,,.
(1)求數(shù)列與的通項公式;
(2)若數(shù)列滿足,為數(shù)列的前項和,證明:.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com