Question

已知函數(shù)f（x）=3x²-6x-5．
（1）求不等式f（x）＞4的解集；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-4x²+mx，若存在x∈R，使g（x）＞0，求m的取值范圍；
（3）若對(duì)于任意的a∈[1，2]，關(guān)于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b在區(qū)間[1，3]上恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接求解一元二次不等式得答案；
（2）把f（x）代入g（x）=f（x）-4x²+mx，若存在x∈R，使g（x）＞0，轉(zhuǎn)化為不等式-x²+（m-6）x-5＞0的解集非空，由判別式大于0得答案；
（3）把對(duì)于任意的a∈[1，2]，關(guān)于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b在區(qū)間[1，3]上恒成立，
等價(jià)于對(duì)于任意的a∈[1，2]，不等式2x²+2ax-（a+b+5）≤0在區(qū)間[1，3]上恒成立，構(gòu)造函數(shù)
ϕ（x）=2x²+2ax-（a+b+5），求出對(duì)稱軸，由a的范圍得到對(duì)稱軸的范圍，求出ϕ（x）的最值后借助于
b≥5a+13恒成立求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（x）＞4，得3x²-6x-5＞4，即x²-2x-3＞0．
解得x＜-1或x＞3．
∴不等式f（x）＞4的解集為{x|x＜-1或x＞3}；
（2）g（x）=f（x）-4x²+mx=3x²-6x-5-4x²+mx=-x²+（m-6）x-5．
若存在x∈R，使g（x）＞0，即不等式-x²+（m-6）x-5＞0的解集非空，
也就是x²-（m-6）x+5＜0的解集非空．
則[-（m-6）]²-20＞0，解得：
m＞6+2

5

或m＜6-2

5

；
（3）對(duì)于任意的a∈[1，2]，關(guān)于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b在區(qū)間[1，3]上恒成立，
等價(jià)于對(duì)于任意的a∈[1，2]，不等式2x²+2ax-（a+b+5）≤0在區(qū)間[1，3]上恒成立，
令ϕ（x）=2x²+2ax-（a+b+5），對(duì)稱軸x=-

a

2

由已知，-

a

2

∈[-1，-

1

2

]，
∴ϕ_max（x）=ϕ（3）=5a-b+13，
∴只要當(dāng)a∈[1，2]時(shí)，5a-b+13≤0恒成立即可，
即當(dāng)a∈[1，2]時(shí)，b≥5a+13恒成立，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是[23，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了函數(shù)恒成立問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生的靈活變形能力，是中檔題．