【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點(diǎn);
(II)求二面角B-PD-A的大小;
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
【答案】(I)詳見(jiàn)解析
(II)二面角為銳角的大小為.;
(III)直線與平面所成角的正弦值為.
【解析】解:(I)設(shè)交點(diǎn)為,連接.
因?yàn)?/span>平面,平面平面,所以.
因?yàn)?/span>是正方形,所以為的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn).
(II)取的中點(diǎn),連接,.
因?yàn)?/span>,所以.
又因?yàn)槠矫?/span>平面,且平面,所以平面.
因?yàn)?/span>平面,所以.
因?yàn)?/span>是正方形,所以.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,
,.
設(shè)平面的法向量為,則,即.
令,則,.于是.
平面的法向量為,所以.
由題知二面角為銳角,所以它的大小為.
(III)由題意知,,.
設(shè)直線與平面所成角為,則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是七位評(píng)委為甲,乙兩名參賽歌手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m,n為數(shù)字0~9中的一個(gè)),則甲歌手得分的眾數(shù)和乙歌手得分的中位數(shù)分別為a和b,則一定有( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a,b的大小與m,n的值有關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(12分)已知橢圓C:(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1,)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD為等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD=2,PD=2,PA⊥PD,Q為PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:CQ∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線PD與平面AQC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若x,y∈[﹣1,1],x+y≠0有(x+y)[f(x)+f(y)]>0.
(1)判斷f(x)的單調(diào)性,并加以證明;
(2)解不等式 ;
(3)若f(x)≤m2﹣2am+1對(duì)所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)= ,其中h(x)是指數(shù)函數(shù),且h(2)=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求不等式f(2x﹣1)>f(x+1)的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)點(diǎn)P(m,n)的直線l與直線l0:x+2y+4=0垂直. (Ⅰ)若 ,且點(diǎn)P在函數(shù) 的圖像上,求直線l的一般式方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)P(m,n)在直線l0上,判斷直線mx+(n﹣1)y+n+5=0是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);否則,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】張先生知道清晨從甲地到乙地有好、中、差三個(gè)班次的客車.但不知道具體誰(shuí)先誰(shuí)后.他打算:第一輛看后一定不坐,若第二輛比第一輛舒服,則乘第二輛;否則坐第三輛.問(wèn)張先生坐到好車的概率和坐到差車的概率分別是( )
A. 、
B. 、
C. 、
D. 、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1= ,公比q滿足q>0且q≠1,又已知a1 , 5a3 , 9a5成等差數(shù)列;
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=log3 ,記Tn= ,是否存在最大的整數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N* , 均有Tn> 成立?若存在,求出m,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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