Question

【題目】已知直線(xiàn)．

（1）求證：無(wú)論取何值，直線(xiàn)始終經(jīng)過(guò)第一象限；

（2）若直線(xiàn)與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線(xiàn)的方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析； （2）面積的最小值為4，直線(xiàn)的方程為．

【解析】

（1）先將直線(xiàn)方程化成點(diǎn)斜式，求得、的值，可得定點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)定點(diǎn)在第一象限，可得直線(xiàn)始終經(jīng)過(guò)第一象限；

（2）法一：先求得、的坐標(biāo)，可得的面積為表達(dá)式，再利用基本不等式，求得的最小值及此時(shí)的值，進(jìn)而得到此時(shí)直線(xiàn)的方程．

法二：設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以，利用基本不等式求得，則可得的最小值及此時(shí)的的值，進(jìn)而得到此時(shí)直線(xiàn)的方程．

（1）因?yàn)橹本�(xiàn)，即，令，求得，，

即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)且在第一象限，

所以無(wú)論取何值，直線(xiàn)始終經(jīng)過(guò)第一象限．

（2）方法一：因?yàn)橹本�(xiàn)與軸，軸正半軸分別交于，兩點(diǎn)，所以，

令，解得；令，得，

即，，

∴，

∵，∴，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)，取得等號(hào)，

則，

∴，從而的最小值為4，

此時(shí)直線(xiàn)的方程為，即．

方法二：因?yàn)橹本�(xiàn)與軸，軸正半軸分別交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，

又直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>，，所以，

即：，所以，

∴，即的最小值為4，

此時(shí)，解得，，

所以直線(xiàn)的方程為，即：．