Question

已知A、D分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F₁、F₂分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且|F₁F₂|=2

3

，

PF1

•

PF2

=-

7

4

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS、BS與直線x=

34

15

分別交于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知：A（-a，0），D（0，b），2c=2

3

，a²-b²=c²．從而得到P（-

a

2

，

b

2

），c=

3

，

a2

4

-3+

b2

4

=-

7

4

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線AS的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，直線BS的方程為y=-

1

4k

(x-2)，由此求出M（

34

15

，

64

15

k），N（

34

15

，-

1

15k

），k＞0，從而能求出|MN|的最小值．

解答： 解：（1）由題意知：A（-a，0），D（0，b），2c=2

3

，a²-b²=c²．（1分）
∴P（-

a

2

，

b

2

），c=

3

，F(xiàn)₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），（2分）
∴

PF1

=（-

3

+

a

2

，-

b

2

），

PF2

=（

3

+

a

2

，-

b

2

），

PF1

•

PF2

=

a2

4

-3+

b2

4

=-

7

4

，
∴a²+b²=5．（4分）
∴a²=4，b²=5，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．（6分）
（2）由題意知直線AS的斜率k存在，且k＞0，
∴直線AS的方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程，并整理，得
（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
記S（x₁，y₁），則x1-2=-

16k2

1+4k2

，x1=

2-8k2

1+4k2

，y1=k(x1+2)=

4k

1+4k2

，
∴直線BS的方程為y=-

1

4k

(x-2)，
由

y=k(x+2) x= 34 15

，得M（

34

15

，

64

15

k），k＞0，
由

y=- 1 4k (x-2) x= 34 15

，得N（

34

15

，-

1

15k

），k＞0．（10分）
∴|MN|=|

64k

15

+

1

15k

|=

64k

15

+

1

15k

≥

16

15

．
∴|MN|的最小值為

16

15

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線段長(zhǎng)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想和均值定理的合理運(yùn)用．