Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的函數(shù)，其A，B，C三點，若點B的坐標為（2，0），且 f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調(diào)性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性．
（1）求 的取值范圍；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在一點M（x，y），使得 f（x）在點M的切線斜率為3b？求出點M的坐標；若不存在，說明理由；
（3）求|AC|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間判斷出x=0是函數(shù)的極值點，利用函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0，列出方程求出c的值，將c的值代入導函數(shù)，令導函數(shù)為0求出方程的兩個根即兩個極值點，據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出根-2b3a與區(qū)間端點的關(guān)系，列出不等式組求出 的取值范圍
（2）假設(shè)存在，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，列出方程，通過判斷判別式的符號得到結(jié)論．
（3）設(shè)出f（x）的三個零點，寫出f（x）的利用三個根不是的解析式，將x=2代入，利用韋達定理求出A，C的距離，據(jù)（2）求出|AC|的最值．
解答：解：（1）f（x）=ax³+bx²+cx+d⇒f'（x）=3ax²+2bx+c
由題意得：f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的單調(diào)性
所以f'（0）=0
所以c=0
當c=0時，f'（x）=0的另一個根為
f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的單調(diào)性，
所以，
所以
由題意得：f（x）=ax³+bx²+d=0的三個不同根為2，x_A，x_C
得f（2）=0
所以d=-8a-4b
f（x）=（x-2）[ax²+（2a+b）x+2（2a+b）]=0
所以ax²+（2a+b）x+2（2a+b）]=0二個不同根為x_A，x_C，
所以，
解得
綜上得：…（5分）
（2）假設(shè)在函數(shù)f（x）的圖象上存在一點M（x，y），使得f（x）在點M的切線斜率為3b
則 f'（x）=3b?3ax²+2bx-3b=0有解（*）
令
得：△=4a²（t²+9t）=4a²t（t+9）＜0與（*）矛盾
在函數(shù)f（x）的圖象上不存在一點M（x，y），使得f（x）在點M的切線斜率為3b…（10分）
（3）由（1）得：
…（14分）
所以3≤|AC|≤4
點評：本題考查極值點處的函數(shù)值為0，極值點左右兩邊的導函數(shù)符號相反；解決二次方程的根的問題常用到韋達定理．