Question

5．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{2x}{1+2x{\;}^{2}}$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求證：函數(shù)f（x）是減函數(shù)．

Answer 1

分析 由函數(shù)單調性的定義法，設-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x₁＜x₂≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，作出變形得出f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答 證明：設-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x₁＜x₂≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{x}_{2}}{1+2{{x}_{2}}^{2}}$-$\frac{2{x}_{1}}{1+2{{x}_{1}}^{2}}$
=$\frac{2{x}_{2}（1+2{{x}_{1}}^{2}）-2{x}_{1}（1+2{{x}_{2}}^{2}）}{（1+2{{x}_{2}}^{2}）（1+2{{x}_{1}}^{2}）}$
=$\frac{2{x}_{2}-2{x}_{1}+4{{x}_{1}}^{2}{x}_{2}-4{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}}{（1+2{{x}_{2}}^{2}）（1+2{{x}_{1}}^{2}）}$
=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）+4{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1+2{{x}_{2}}^{2}）（1+2{{x}_{1}}^{2}）}$
=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（2{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（1+2{{x}_{2}}^{2}）（1+2{{x}_{1}}^{2}）}$＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）是減函數(shù)

點評 本題考查函數(shù)的單調性的判定和證明，涉及定義法判函數(shù)的單調性，屬基礎題．