(2008•成都三模)某中學開展“創(chuàng)建文明城市知識競賽”活動,競賽題由20道選擇題構(gòu)成,每道選擇題有4個選項,其中有且只有1個選項是正確的,要求學生在規(guī)定時間內(nèi)通過筆試完成,且每道題必須選出一個選項(不得多選和不選),每道題選擇正確得6分,選擇錯誤得0分.已知學生甲對任一道題選擇正確的概率是
34
;學生乙由于未作準備,因此只能從每道題的4個選項中隨機地選擇1個.
(1)比較甲得66分的概率與乙得54分的概率的大。
(2)就前兩道題而言,求甲、乙兩人得分之和不得低于18分的概率.
分析:(1)依題意,甲得66分,即在20道題中答對11道題,由n次獨立重復實驗中恰有k次發(fā)生的概率公式計算可得其概率,又由題意,易得乙答對每一道題的概率都是
1
4
,則乙得54分,即在20道題中答對9道題,由n次獨立重復實驗中恰有k次發(fā)生的概率公式計算可得其概率,比較可得答案;
(2)依題意,前兩道題甲、乙得分之和不低于18分,即前兩道題中甲乙兩人一共最多錯l道,由互斥事件概率的公式計算可得答案.
解答:解:(1)依題意,甲對任一道題選擇正確的概率是
3
4
,
甲得66分,即在20道題中答對11道題的概率為P1=
C
11
20
(
3
4
)11(
1
4
)9
;
又由題意,乙從每道題的4個選項中隨機地選擇1個,則乙答對每一道題的概率都是
1
4
,
則乙得54分,即在20道題中答對9道題的概率為P2=
C
9
20
(
1
4
)9(
3
4
)11

又由C2011=C209,則P1=P2,
故甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大.
(2)依題意,前兩道題甲、乙得分之和不低于18分,即前兩道題中甲乙兩人一共最多錯l道,
即有三種情況,甲錯1道,乙錯1道,甲乙全部答對三種情況,
所求概率為P3=
C
2
2
(
3
4
)2
C
2
2
(
1
4
)2+
C
2
2
(
3
4
)2
C
1
2
(
1
4
)•
3
4
+
C
1
2
3
4
1
4
C
2
2
(
1
4
)2=
69
256
點評:本題考查n次獨立重復實驗中恰有k次發(fā)生的概率計算,關(guān)鍵是審清題意,明確事件之間的關(guān)系,將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或次獨立重復實驗中恰有k次發(fā)生的概率計算問題.
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