Question

4．2008年5月12日，四川汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震．在隨后的幾天中，地震專家對(duì)汶川地區(qū)發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測．記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

強(qiáng)度（J）	1.6×1019	3.2×1019	4.5×1019	6.4×1019
震級(jí)（里氏）	5.0	5.2	5.3	5.4

（注：地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量）
（1）畫出震級(jí)（y）隨地震強(qiáng)度（x）的變化散點(diǎn)圖；

（2）根據(jù)散點(diǎn)圖，從函數(shù)y=kx+b，y=algx+b，y=a•10^x+b中選取一個(gè)函數(shù)描述震級(jí)y隨地震強(qiáng)度x的變化關(guān)系；
（3）四川汶川地區(qū)發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震時(shí)釋放的能量約是多少？（取lg2=0.3）

Answer 1

分析 （1）由題中的表格，取地震強(qiáng)度的單位為10¹⁹，得到各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中找出即可；
（2）根據(jù)作出的散點(diǎn)，分析可能連成的曲線的單調(diào)性與變化率，得到它近似符合對(duì)數(shù)函數(shù)模型，即選擇對(duì)數(shù)函數(shù)模型；
（3）根據(jù)（2）中選擇的函數(shù)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)解出a、b之值，得出函數(shù)表達(dá)式，求出y=8時(shí)的x值即可．

解答 解：（1）根據(jù)題中的表格，以地震強(qiáng)度為橫坐標(biāo)x、震級(jí)（單位為10¹⁹）為縱坐標(biāo)y，
得到點(diǎn)（1.6，5.0），（3.2，5.2），（4.5，5.3），（6.4，5.4）；
在坐標(biāo)系描出各個(gè)點(diǎn)，如右圖所示；
（2）根據(jù)散點(diǎn)圖，可得若將它們連成平滑的曲線，
該曲線的走勢是增函數(shù)，且變化率由快逐漸變慢．
對(duì)照表格中的數(shù)據(jù)與提供的函數(shù)，可知宜選擇對(duì)數(shù)型函數(shù)，
所以應(yīng)該選擇y=algx+b；
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，將點(diǎn)（1.6，5.0）
與（3.2，5.2）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{5.0=alg（1.6{×10}^{19}）+b}\\{5.2=alg（3.2{×10}^{19}）+b}\end{array}\right.$．
解得：a=$\frac{2}{3}$，b=-7.8，可得函數(shù)表達(dá)式為y=$\frac{2}{3}$lgx-7.8．
由此算出：當(dāng)y=8.0時(shí)，$\frac{2}{3}$lgx-7.8=8.0，解得x≈10²⁴（J）
即發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震時(shí)釋放的能量約為10²⁴（J）．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了基本初等函數(shù)模型的選擇、函數(shù)圖象的作法與函數(shù)解析式的求法等知識(shí)，考查了數(shù)學(xué)建模的實(shí)際應(yīng)用能力，是綜合題目．