【題目】已知函數(shù) .

(Ⅰ)若有相同的單調(diào)區(qū)間,求的取值范圍;

(Ⅱ)令),若在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn).

(i)求的取值范圍;

(ii)設(shè)兩個極值點(diǎn)分別為, ,證明:

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(i)(ii)詳見解析

【解析】【試題分析】(1)借助題設(shè)條件,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析求解;(2)先依據(jù)題設(shè)條件將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識分析求解:

(Ⅰ).函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. 

若在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

(Ⅱ)(i)依題意,函數(shù)的定義域?yàn)?/span> ,

所以方程有兩個不同根.

即方程有兩個不同根,

轉(zhuǎn)化為,函數(shù)與函數(shù)的圖象在有兩個不同交點(diǎn),如圖. 

可見,若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)圖象的直線斜率為,

只需.

令切點(diǎn),所以,又,所以,

解得,于是,所以.

(ii)由(i)可知, 分別是方程的兩個根,

, ,不妨設(shè),作差得,即

原不等式等價于,即,即,

,則, ,即,

設(shè), , ,

∴函數(shù)上單調(diào)遞增,∴,即不等式成立,

故所證不等式成立.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】(本小題滿分12分)在如圖所示的五面體中,面為直角梯形, ,平面平面, 是邊長為2的正三角形.

(1)證明: 平面;

(2)求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù),AB是曲線上兩個不同的點(diǎn).

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間,并寫出實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅱ)證明: .

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【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)與其短軸得一個端點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于兩點(diǎn),與軸, 軸分別相交于點(diǎn)合點(diǎn),且,點(diǎn)時點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn), 的延長線交橢圓于點(diǎn),過點(diǎn)分別做軸的垂線,垂足分別為.

(1) 求橢圓的方程;

(2)是否存在直線,使得點(diǎn)平分線段若存在,請求出直線的方程;若不存在,請說明理由。

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【題目】已知橢圓),以橢圓內(nèi)一點(diǎn)為中點(diǎn)作弦,設(shè)線段的中垂線與橢圓相交于 兩點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的離心率;

(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的,使得, , , 在同一個圓上,并說明理由.

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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形, ,側(cè)面底面, , , 分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.

(Ⅰ)求證: 平面;

(Ⅱ)如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等,求的值.

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【題目】某城市理論預(yù)測2010年到2014年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如下表所示

年份2010+x(年)

0

1

2

3

4

人口數(shù)y(十萬)

5

7

8

11

19

(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;

(2) 據(jù)此估計(jì)2015年該城市人口總數(shù)。

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【題目】已知橢圓的離心率,左頂點(diǎn)為.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn), 是橢圓上的兩點(diǎn),連接的直線平行軸于點(diǎn),證明: 成等比數(shù)列.

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