Question

如圖，已知平面四邊形ABCP中，D為PA的中點(diǎn)，PA⊥AB，CD∥AB，且PA=CD=2AB=4．將此平面四邊形ABCP沿CD折成直二面角P-DC-B，連接PA、PB，設(shè)PB中點(diǎn)為E．
（Ⅰ）證明：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）在線段BD上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面PBC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（Ⅲ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明BC⊥平面PBD，即可證明平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用

EF

•

PB

=0，

EF

•

PC

=0，即可確定點(diǎn)F的位置；
（Ⅲ）由（II）

EF

=(-

1

2

，-

1

2

，-1)是平面PBC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：直二面角P-DC-B的平面角為∠PDA=90°，
又PD⊥DC，則PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．
又在平面四邊形ABCP中，由已知數(shù)據(jù)得BD⊥BC，而PD∩BD=D，
故BC⊥平面PBD，
因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC…（4分）
（Ⅱ）解：由（I）的分析易知，PD⊥DA，PD⊥DC，DC⊥DA，則以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．結(jié)合已知數(shù)據(jù)可得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），P（0，0，2），
則PB中點(diǎn)E（1，1，1），∵F∈平面ABCD，故可設(shè)F（x，y，0），
則

EF

=(x-1，y-1，-1)
∵EF⊥平面ABCD，∴

EF

•

PB

=0，

EF

•

PC

=0
又

PB

=(2，2，-2)，

PC

=(0，4，-2)，
由此解得x=y=

1

2

，即F(

1

2

，

1

2

，0)
易知這樣的點(diǎn)F存在，且為線段BD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)…..（8分）
（Ⅲ）解：由（II）

EF

=(-

1

2

，-

1

2

，-1)是平面PBC的一個(gè)法向量，又

AB

=(0，2，0)，
則得cos＜

EF

，

AB

＞=

EF • AB

| EF || AB |

=…=-

6

6

，所以＜

EF

，

AB

＞=π-arccos

6

6

，
記直線AB與平面PBC所成角為θ，則知sinθ=|cos＜

EF

，

AB

＞|=

6

6

，
故所求角的正弦值為

6

6

…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷所求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．