Question

6．已知點(diǎn)A，B，C，D均在球O的球面上，AB=BC=1，AC=$\sqrt{3}$，若三棱錐D-ABC體積的最大值是$\frac{1}{4}$，則球O的表面積為$\frac{16}{3}$π．

Answer 1

分析 確定∠ABC=120°，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，利用三棱錐D-ABC的體積的最大值為$\frac{1}{4}$，可得D到平面ABC的最大距離，再利用射影定理，即可求出球的半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，則
∵AB=BC=1，AC=$\sqrt{3}$，∴∠ABC=120°，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=2
∵三棱錐D-ABC的體積的最大值為$\frac{1}{4}$，
∴D到平面ABC的最大距離為$\sqrt{3}$，
設(shè)球的半徑為R，則1²=$\sqrt{3}$×（2R-$\sqrt{3}$），
∴R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴球O的表面積為4πR²=$\frac{16}{3}$π．
故答案為：$\frac{16}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的半徑與表面積，考查體積的計(jì)算，確定D到平面ABC的最大距離是關(guān)鍵．