Question

16．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4，∠CDA=120°，點N在線段PB上，且PN=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求證：MN∥平面PDC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正三角形的性質(zhì)可得BD⊥AC，利用線面垂直的性質(zhì)可知PA⊥BD，再利用線面垂直的判定定理即可證明BD⊥PC；
（Ⅱ）利用已知條件分別求出BM、MD、PB，得到$\frac{BM}{MD}=\frac{BN}{NP}$，即可得到MN∥PD，再利用線面平行的判定定理即可證明

解答 證明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中點，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2$\sqrt{3}$．
在△ACD中，
∵M(jìn)為AC中點，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，
∴DM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{NM}{MD}$=$\frac{3}{1}$．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BN}{NP}$=$\frac{3}{1}$，
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{BN}{NP}$，
∴MN∥PD．
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
∴MN∥平面PDC．

點評 本題主要考查線面垂直的性質(zhì)以及線面平行的判定，利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．