Question

5．已知P（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓切x軸于點(diǎn)M，則$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$-1
• B． 2$\sqrt{2}$+1
• C． 2$\sqrt{2}$-2
• D． 2$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用切線長(zhǎng)定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=4，轉(zhuǎn)化為|AF₁|-|HF₂|=4，從而求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：P（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$）在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上，可得b=$\sqrt{5}$，
∴F₁（-3，0）、F₂（3，0），
如圖，設(shè)M（x，0），內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)是點(diǎn)M，PF₁、PF₂與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為N、H，
∵由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a=4，
由圓的切線長(zhǎng)定理知，|PN|=|PH|，故|NF₁|-|HF₂ |=4，
即|MF₁|-|HF₂|=4，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，
故（x+3）-（3-x）=4，∴x=2．
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（2$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{5}$）•（3-2，0）=2$\sqrt{2}$-2，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、切線長(zhǎng)定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，正確運(yùn)用雙曲線的定義是關(guān)鍵．