Question

給出下列命題：
①已知線性回歸方程

y

=3+2x，當(dāng)變量x增加2個單位，其預(yù)報值平均增加4個單位；
②在進(jìn)制計算中，100_（2）=11_（3）；
③若ξ～N（3，σ²），且P（0≤ξ≤3）=0.4，則P（ξ≥6）=0.1；
④“a=

∫

1 0

1-x2

dx”是“函數(shù)y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4”的充要條件；
⑤設(shè)函數(shù)f（x）=

2014x+1+2013

2014x+1

+2014sinx（x∈[-

π

2

，

π

2

]）的最大值為M，最小值為m，則M+m=4027，
其中正確命題的個數(shù)是

 

個．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題

分析：①中，由線性回歸方程知，變量x增加2個單位，其預(yù)報值平均增加4個單位是正確的；
②中，把100_（2），11_（3）都化為十進(jìn)制即可判定命題②是否正確；
③中，由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，σ²）知曲線的對稱軸是μ=3，由P（0≤ξ≤3）求出[3，6]之間的概率，即得要求的概率；
④中，根據(jù)積分的幾何意義求出a的值，由函數(shù)y的最小正周期為4，求出a的值，二者不等，即判定不是充要條件；
⑤中，化簡函數(shù)f（x），求出最大值M與最小值m的和，即可判定命題是否正確．

解答： 解：對于①，線性回歸方程為

y

=3+2x時，當(dāng)變量x增加2個單位，
其預(yù)報值平均增加

y△

=（3+2（x+2））-（3+2x）=4個單位；∴①正確．
對于②，在不同的進(jìn)制計算中，100_（2）=1×2²+0×2¹+0×2⁰=4，
11_（3）=1×3¹+1×3⁰=4，
∴100_（2）=11_（3）；∴②正確．
對于③，∵ξ～N（3，σ²），∴曲線的對稱軸是μ=3，
∴P（3≤ξ≤6）=P（0≤ξ≤3）=0.4，
∴P（ξ≥6）=

1

2

（1-0.4×2）=0.1；∴③正確．
對于④，根據(jù)積分的幾何意義知，a=

∫

1 0

1-x2

dx=

π

4

，
函數(shù)y=cos²（ax）-sin²（ax）=cos2ax，當(dāng)函數(shù)的最小正周期為4時，T=

2π

|2a|

，∴a=±

π

4

，∴不是充要條件，④錯誤．
對于⑤，∵函數(shù)f（x）=

2014x+1+2013

2014x+1

+2014sinx=2014-

1

2014x+1

+2014sinx（x∈[-

π

2

，

π

2

]）的最大值為M，最小值為m，
M+m=f（

π

2

）+f（-

π

2

）=[2014-

1

2014 π 2 +1

+sin

π

2

]+[2014-

1

2014- π 2 +1

+sin（-

π

2

）]=4027，∴⑤正確．
所以，以上正確的命題有4個；
故答案為：4．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了線性回歸方程的意義、不同進(jìn)制的計數(shù)運算、正態(tài)分布的應(yīng)用、積分的計算與三角函數(shù)的周期性、以及函數(shù)的最值問題，是綜合性題目．