Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，AA₁=2，點(diǎn)E為CC₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD₁的中點(diǎn)，
（Ⅰ）證明EF為BD₁與CC₁的公垂線；
（Ⅱ）求點(diǎn)D₁到面BDE的距離。

Answer 1

（Ⅰ）證明：取BD中點(diǎn)M，連結(jié)MC，F(xiàn)M，
∵F為BD₁中點(diǎn)，
∴FM∥D₁D且FM=D₁D，
又EC=CC₁，且EC⊥MC，
∴四邊形EFMC是矩形，
∴EF⊥CC₁，
又CM⊥面DBD₁，
∴EF⊥面DBD₁，
∵BD₁面DBD₁，
∴EF⊥BD₁，
故EF為BD₁與CC₁的公垂線。
（Ⅱ）解：連結(jié)ED₁，有，
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁，
設(shè)點(diǎn)D₁到面BDE的距離為d，
則S_△DBC·d=·EF，
∵AA₁=2·AB=1，
∴，
∴，
故點(diǎn)D₁到平面BDE的距離為。