Question

下列幾個(gè)命題，正確的有

 

．（填正確命題的序號(hào)）
①若方程x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則a＜0；
②若函數(shù)y=f（x+1）為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1成軸對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)f（x）=log

1

3

（6-x-x²）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

1

2

，2）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于①，結(jié)合函數(shù)f（x）=x²+（a-3）x+a的圖象可知，只需x=0時(shí)，函數(shù)的圖象在x軸下方即可，據(jù)此列出不等式；
對(duì)于②，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)以及圖象變換的方法求解；
對(duì)于③，先求函數(shù)的定義域，然后結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為內(nèi)函數(shù)y=6-x-x²的單調(diào)區(qū)間求法．

解答： 解：對(duì)于①，令f（x）=x²+（a-3）x+a，要使x²+（a-3）x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，只需f（0）＜0，即a＜0即可，故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x+1）為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)y=f（x）圖象可由y=f（x+1）圖象沿x軸向右平移一個(gè)單位得到，所以y=f（x）圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?3，2），令t=6-x-x²，則y=log

1

3

t，外函數(shù)為減函數(shù)，所以要求原函數(shù)的增區(qū)間，即求函數(shù)t=6-x-x²在（-3，2）上的減區(qū)間，即[-

1

2

，2)，故③正確．
故答案為①③．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了方程根的分布、函數(shù)的奇偶性及圖象平移以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．