Question

設(shè)y=f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當x≤-1時，y=f（x）的圖象是經(jīng)過點（-2，2），斜率為-1的一條射線，又當x∈[-1，0]時，y=f（x）的圖象是頂點在（0，2），且過點（-1，1）的一段拋物線．
（1）試寫出函數(shù)y=f（x）在R上的表達式；
（2）作出函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象并寫出它的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)圖象的作法,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由條件求出當x≤-1時f（x）的解析式，當x∈[-1，0]時f（x）的解析式，再結(jié)合f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，求得當x∈[0，1]時，f（x）的解析式，當x≥1時，f（x）的解析式，綜合可得結(jié)論．
（2）由函數(shù)f（x）的解析式作出函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象，數(shù)形結(jié)合求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意可得當x≤-1時，f（x）的圖象是一條射線，端點為A（-1，1），且經(jīng)過點B（-2，2），
故函數(shù)的f（x）的解析式為f（x）=-x．
當x∈[-1，0]時，y=f（x）的圖象是頂點在（0，2），且過點（-1，1）的一段拋物線．
設(shè)函數(shù)解析式為y=ax²+2，把點A（-1，1）代入求得a=-1，
故f（x）=-x²+2．
再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，可得當x∈[0，1]時，f（x）=-x²+2，
當x≥1時，f（x）=x．
綜上可得，f（x）=

-x，x≤-1 -x2+2，-1＜x＜1 x，x≥1

．
（2）由函數(shù)f（x）的解析式作出函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象：
結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可得，
它的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1]、[0，1]；
增區(qū)間為（-1，0）、（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)圖象的對稱性，求函數(shù)的解析式，做函數(shù)的圖象，屬于中檔題．