Question

13．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（-x），當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}|\frac{1}{2}-x|，x≠\frac{1}{2}}\\{0，x=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，則f（x）在區(qū)間（1，$\frac{3}{2}$）內(nèi)是（　�。�

• A． 增函數(shù)且f（x）＞0
• B． 增函數(shù)且f（x）＜0
• C． 減函數(shù)且f（x）＞0
• D． 減函數(shù)且f（x）＜0

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以判斷出f（x）是周期為2的周期函數(shù)，并且x$∈（\frac{1}{2}，1）$時，$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-\frac{1}{2}）$，從而可以得到f（x）=f（x-2）=-f（2-x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-\frac{1}{2}）$，而$2-x∈（1，\frac{3}{2}）$，可換元，令2-x=t，從而求出f（t）即得出x$∈（1，\frac{3}{2}）$的解析式，從而可以判斷此時的f（x）的單調(diào)性及其符號．

解答 解：由f（x）為奇函數(shù)，f（x+1）=f（-x）得，f（x）=-f（x+1）=f（x+2）；
∴f（x）=f（x+2）；
∴f（x）是周期為2的周期函數(shù)；
根據(jù)條件，x$∈（\frac{1}{2}，1）$時，$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-\frac{1}{2}）$；
∴$x-2∈（-\frac{3}{2}，-1）$，-（x-2）$∈（1，\frac{3}{2}）$；
∴$f（x）=f（x-2）=-f（2-x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-\frac{1}{2}）$；
設(shè)2-x=t，t$∈（1，\frac{3}{2}）$，x=2-t；
∴$-f（t）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{3}{2}-t）$；
∴$f（t）=-lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{3}{2}-t）$；
∴$f（x）=-lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{3}{2}-x）$，$x∈（1，\frac{3}{2}）$；
可以看出x增大時，$\frac{3}{2}-x$減小，$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{3}{2}-x）$增大，f（x）減小；
∴在區(qū)間（1，$\frac{3}{2}$）內(nèi)，f（x）是減函數(shù)；
而由$1＜x＜\frac{3}{2}$得0$＜\frac{3}{2}-x＜\frac{1}{2}$；
∴$lo{g}_{\frac{1}{2}}（\frac{3}{2}-x）＞1$；
∴f（x）＜0．
故選：D．

點評 考查奇函數(shù)的定義，周期函數(shù)的定義，以及換元法求函數(shù)解析式，減函數(shù)的定義，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)．