Question

（本小題滿(mǎn)分12分）已知圓，直線(xiàn)

（1）求證：對(duì)，直線(xiàn)與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B；

（2）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明其軌跡是什么曲線(xiàn)；

（3）若定點(diǎn)P（1，1）滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的方程。

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）軌跡方程為圓；（3）或；

【解析】

試題分析：（1）由題可知，當(dāng)直線(xiàn)與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑，根據(jù)性質(zhì)，得到一個(gè)恒成立的不等式，證畢；（2）通過(guò)圓的幾何性質(zhì)，可得到三角形CMP為直角三角形，設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），通過(guò)坐標(biāo)的關(guān)系即可得到M的軌跡方程；（3）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)通常采用點(diǎn)斜式，將直線(xiàn)設(shè)為，通過(guò)，將x1求出，代回到聯(lián)立方程中，即可得到m的值，由此可得到直線(xiàn)方程。

試題解析：（Ⅰ）圓的圓心為，半徑為

∴圓心C到直線(xiàn)的距離

∴直線(xiàn)與圓C相交，即直線(xiàn)與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)； 4分

（Ⅱ）當(dāng)M與P不重合時(shí)，連結(jié)CM、CP，則，

∴

設(shè)，則，

化簡(jiǎn)得：

當(dāng)M與P重合時(shí)，也滿(mǎn)足上式。因此，弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為

設(shè)則軌跡是半徑為的圓

（Ⅲ）設(shè)，由得，

∴，化簡(jiǎn)的 ①

又由消去得 （*）

∴ ②

由①②解得，帶入（*）式解得，

所以直線(xiàn)的方程為或 12分

考點(diǎn)：?直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系?圓的幾何性質(zhì)