Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x+1

+lnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，比較f（x）與1的大�。�
（2）當(dāng)a=

9

2

時(shí)，如果函數(shù)g（x）=f（x）-k僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：對(duì)于一切正整數(shù)n，都有l(wèi)n（n+1）＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=

2

x+1

+lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可．
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值與最值，函數(shù)g（x）=f（x）-k僅有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=k的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)即可．
（3）方法一：根據(jù)（1）的結(jié)論知當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞1．即當(dāng)x＞1時(shí)，

2

x+1

+lnx＞1，即lnx＞

x-1

x+1

，
令x=

k+1

k

，則有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，再利用“累加求和”及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
方法二：利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=

2

x+1

+lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞）．
∵f′(x)=

-2

(x+1)2

+

1

x

=

x2+1

x(x+1)2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=1；
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）=f（1）=1；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜f（1）=1．
（2）當(dāng)a=

9

2

時(shí)，f(x)=

9

2(x+1)

+lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=

-9

2(x+1)2

+

1

x

=

(2x-1)(x-2)

2x(x+1)2

，
令f′（x）=0得x1=

1

2

，x₂=2，
∵當(dāng)0＜x＜

1

2

或x＞2時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)

1

2

＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在(0，

1

2

)上遞增，在(

1

2

，2)上遞減，在（2，+∞）上遞增．
且f（x）的極大值為f(

1

2

)=3-ln2，極小值為f(2)=

3

2

+ln2．
又當(dāng)x→0⁺時(shí)，f（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞．
∵函數(shù)g（x）=f（x）-k僅有一個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=k僅有一個(gè)交點(diǎn)．
∴k＞3-ln2或k＜

3

2

+ln2．
（3）方法一：根據(jù)（1）的結(jié)論知當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞1．
即當(dāng)x＞1時(shí)，

2

x+1

+lnx＞1，即lnx＞

x-1

x+1

，
令x=

k+1

k

，則有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，
從而得ln

2

1

＞

2

3

，ln

3

2

＞

1

5

，ln

4

3

＞

1

7

，…，ln

n+1

n

＞

1

2n+1

．
故得ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

，
即ln(

2

1

×

3

2

×

4

3

×…×

n+1

n

)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

∴ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

．
方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=ln2，右邊=

1

3

因?yàn)?ln2=ln8＞1，所以ln2＞

1

3

，即n=1時(shí)，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，不等式成立，即ln(k+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2k+1

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，ln(n+1)=ln(k+2)=ln[(k+1)•

k+2

k+1

]=ln(k+1)+ln

k+2

k+1

＞(

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2k+1

)+ln

k+2

k+1

，
由（1）的結(jié)論知，當(dāng)x＞1時(shí)，lnx+

2

x+1

＞1，即lnx＞

x-1

x+1

∴ln

2k-1

2k+1

＞

k+2 k+1 -1

k+2 k+1 +1

=

1

2k+3

即ln(k+2)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2k+1

+

1

2(k+1)+1

即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜合①②知，對(duì)于一切正整數(shù)n，都有ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值與最值、“累加求和”及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．