Question

．（本小題滿分13分）如圖，四棱錐中，⊥底面∥，，∠=120°，=，∠=90°，是線段上的一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).
（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）試確定點(diǎn)的位置，使直線與平面所成角的正弦值為.

Answer 1

解:（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC               （4分）
（Ⅱ）取CD的中點(diǎn)E，則AE⊥CD，∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，，0，0），P（0，0，），C（，0），D（，0）
，，                  (6分)

易求為平面PAC的一個(gè)法向量.
為平面PDC的一個(gè)法向量     
∴cos
故二面角D-PC-A的正切值為2.  (10分)
（Ⅲ）設(shè),則 ,
解得點(diǎn),即  
由得(不合題意舍去)或
所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),直線與平面所成角的正弦值為  （13分）

略