Question

1．已知函數f（x）=|xlnx|．方程f²（x）-（2+e）f（x）+2e=0的實根個數為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 求導得到f（x）=|xlnx|的取值情況，畫出草圖，令t=f（x）=|xlnx|．則方程f²（x）-（2+e）f（x）+2e=0化為t²-（2+e）t+2e=0．解方程求出t的值，數形結合求得方程f²（x）-（2+e）f（x）+2e=0的實根個數．

解答 解：令g（x）=xlnx，則g′（x）=lnx+1，
由g′（x）=lnx+1=0，得$x=\frac{1}{e}$．
當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，g′（x）＜0；當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上為減函數，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上為增函數．
∴$g（x）_{min}=g（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$．
令t=f（x）=|xlnx|．
作出函數t=|xlnx|的草圖如圖：

由f²（x）-（2+e）f（x）+2e=0，即t²-（2+e）t+2e=0．
解得：t=2或t=e．
結合上圖可知，方程f²（x）-（2+e）f（x）+2e=0的實根個數為2．
故選：A．

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查了數形結合的解題思想方法，考查了換元法，是中檔題．