Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{-2}{x-1}$．
（1）求證：f（x）在[2，3]上是增函數(shù)；
（2）求f（x）在[2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由單調(diào)性的定義，由設(shè)自變量、作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論，即可得證；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算即可得到最值．

解答 （1）證明：設(shè)2≤x₁＜x₂≤3，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{-2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{-2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{-2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
由2≤x₁＜x₂≤3，可得（x₁-1）（x₂-1）＞0，
x₂-x₁＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即為f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[2，3]上是增函數(shù)；
（2）解：由（1）可得，f（2）是最小值，且為-2；
f（3）是最大值，且為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，注意運(yùn)用定義，同時(shí)考查單調(diào)性的應(yīng)用：求最值，屬于基礎(chǔ)題．