Question

11．實數(shù)p為何值時，對任意實數(shù)x，不等式-9＜$\frac{3{x}^{2}+6x+p}{{x}^{2}-x-1}$≤6恒成立．

Answer 1

分析 注意到所給的不等式分母為正，因此可以將問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，借助于二次函數(shù)的知識由判別式小于0，解二次不等式不難解決．

解答 解：不等式-9＜$\frac{3{x}^{2}+px+6}{{x}^{2}-x+1}$≤6對?x∈R恒成立，
結(jié)合x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0恒成立，
故原式可化為12x²+（p-9）x+15＞0且3x²-（p+1）x≥0對一切x∈R恒成立．
則只需△₁=（p-9）²-4×12×15＜0且△₂=（p+1）²≤0．
則p+1=0，即p=-1．
即有p=-1時，原不等式恒成立．

點評 本題充分注意到分母大于零恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的恒成立問題是解題的關(guān)鍵．