Question

5．$\int_{\;-2}^{\;2}{（\sqrt{4-{x^2}}-{x^{2017}}}）dx$=2π．

Answer 1

分析 令x=2sinu，則$\sqrt{4-{x}^{2}}$=2cosu，dx=2cosudu，從而$\int_{\;-2}^{\;2}{（\sqrt{4-{x^2}}-{x^{2017}}}）dx$=${∫}_{0}^{π}4co{s}^{2}udu$-${∫}_{-2}^{2}{x}^{2017}dx$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：令x=2sinu，則$\sqrt{4-{x}^{2}}$=2cosu，dx=2cosudu
∴$\int_{\;-2}^{\;2}{（\sqrt{4-{x^2}}-{x^{2017}}}）dx$=${∫}_{0}^{π}4co{s}^{2}udu$-${∫}_{-2}^{2}{x}^{2017}dx$
=2${∫}_{0}^{π}（1+cos2u）du$-（$\frac{1}{2018}{x}^{2018}$）${|}_{-2}^{2}$
=（2u+sin2u ）${|}_{0}^{π}$-[$\frac{1}{2018}×{2}^{2018}$-$\frac{1}{2018}×（-2）^{2018}$]
=（2π+sin2π）-（2×0+sin0）=2π．
故答案為：2π．

點評 本題考查定積分的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意換元法的合理運用．