Question

設(shè)常數(shù)a使方程sinx-

3

cosx=a在閉區(qū)間[0，2π]上恰有三個解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，畫出函數(shù)y=2sin（x+

π

3

）的圖象，方程的解即為直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)，在[0，2π]上，當(dāng)a=

3

時，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個交點(diǎn)，進(jìn)而求得此時x₁，x₂，x₃最后相加即可．

解答： 解：sinx-

3

cosx=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）=2sin（x-

π

3

）=a，
如圖方程的解即為直線與三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)，在[0，2π]上，當(dāng)a=-

3

時，直線與三角函數(shù)圖象恰有三個交點(diǎn)，
令sin（x-

π

3

）=-

3

2

，
此時有x₁=0，x₂=

5π

3

，x₃=2π，
所以x₁+x₂+x₃=0+

5π

3

+2π=

11π

3

，
故答案為：

11π

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，較為直觀的解決問題，屬于中檔題．