Question

已知

tanα

1-tanα

=-

1

3

（Ⅰ）求

sinα-2cosα

3sinα+cosα

的值；
（Ⅱ）若α∈(0，π)，β∈(0，

π

2

)，cos(2β+α)=

5

5

，求sinβ的值．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）易求tanα=-

1

2

，將所求關(guān)系式弦化切即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanα=-

1

2

，α∈（

π

2

，π）且sinα=

5

5

，cosα=-

2 5

5

，依題意易求sin（2β+α）的值，從而可求得cos2β，利用二倍角的余弦即可求得sinβ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

tanα

1-tanα

=-

1

3

，
∴3tanα=tanα-1，
∴tanα=-

1

2

；
∴

sinα-2cosα

3sinα+cosα

=

tanα-2

3tanα+1

=

- 1 2 -2

- 3 2 +1

=5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanα=-

1

2

，又α∈（0，π），
∴α∈（

π

2

，π）且sinα=

5

5

，cosα=-

2 5

5

；
∵β∈（0，

π

2

），
∴2β+α∈（

π

2

，2π），
∵cos（2β+α）=

5

5

，
∴sin（2β+α）=-

2 5

5

，
∴cos2β=cos（2β+α-α）
=cos（2β+α）cosα+sin（2β+α）sinα
=

5

5

×（-

2 5

5

）+（-

2 5

5

）×

5

5

=-

4

5

，
∴cos2β=1-2sin²β=-

4

5

，β∈（0，

π

2

），
∴sinβ=

3 10

10

．

點評：本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，著重考查二倍角的余弦與兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．