【題目】已知焦距為2的橢圓:的右頂點(diǎn)為,直線與橢圓交于、兩點(diǎn)(在的左邊),在軸上的射影為,且四邊形是平行四邊形.
(1)求橢圓的方程;
(2)斜率為的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn),.
(i)若直線過(guò)原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合,是直線上一點(diǎn),且是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求的值;
(ii)若是橢圓的左頂點(diǎn),是直線上一點(diǎn),且,點(diǎn)是軸上異于點(diǎn)的點(diǎn),且以為直徑的圓恒過(guò)直線和的交點(diǎn),求證:點(diǎn)是定點(diǎn).
【答案】(1) (2)(i)或; (ii)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)求出兩點(diǎn)坐標(biāo),四邊形是平行四邊形,即得,結(jié)合可解得;
(2)(i) 設(shè)直線方程為,求出坐標(biāo),設(shè),由等腰直角三角形,有,到直線的距離為,根據(jù)關(guān)系式可求得;
(ii)設(shè)直線方程為,求出點(diǎn)坐標(biāo),又求得點(diǎn)坐標(biāo),以為直徑的圓恒過(guò)直線和的交點(diǎn),則,設(shè),由斜率乘積為-1可得.
解:(1)由題意可得,即,
直線代入橢圓方程可得,
解得,
可得,
由四邊形是平行四邊形,
可得,
∴,
解得,
可得橢圓的方程為;
(2)(i)由題意,直線方程為,代入橢圓方程,可得,
解得,
可設(shè),
由是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,
可設(shè),到直線的距離為,
即有,,
即為,,
由,代入第二式,化簡(jiǎn)整理可得,
解得或;
(ii)證明:由,可得直線的方程是,
代入橢圓方程可得,,
可得,
解得,
,
即,
設(shè),,由題意可得,,
以為直徑的圓恒過(guò)直線和的交點(diǎn),
可得,
即有,
即為,
解得.
故點(diǎn)是定點(diǎn),即為原點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位:)進(jìn)行檢測(cè),如下圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖,據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)與平均數(shù)分別為( )
A.20,22.5B.22.5,25C.22.5,22.75D.22.75,22.75
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用一顆骰子連擲三次,投擲出的數(shù)字順次排成一個(gè)三位數(shù),此時(shí):
(1)各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有多少個(gè)?
(2)可以排出多少個(gè)不同的數(shù)?
(3)恰好有兩個(gè)相同數(shù)字的三位數(shù)共有多少個(gè)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.如圖,一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn),的橢圓與雙曲線構(gòu)成,現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出,依次經(jīng)與反射,又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若將裝置中的去掉,此光線從點(diǎn)發(fā)出,經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若,則與的離心率之比為( )
A. B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某賓館在裝修時(shí),為了美觀,欲將客房的窗戶設(shè)計(jì)成半徑為的圓形,并用四根木條將圓分成如圖所示的9個(gè)區(qū)域,其中四邊形為中心在圓心的矩形,現(xiàn)計(jì)劃將矩形區(qū)域設(shè)計(jì)為可推拉的窗口.
(1)若窗口為正方形,且面積大于(木條寬度忽略不計(jì)),求四根木條總長(zhǎng)的取值范圍;
(2)若四根木條總長(zhǎng)為,求窗口面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,與餐飲美食相關(guān)的手機(jī)APP軟件層出不窮.現(xiàn)從使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機(jī)抽取50個(gè)商家,對(duì)它們的“平均送達(dá)時(shí)間”進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到頻率分布直方圖如圖.
(1)試估計(jì)使用A款訂餐軟件的50個(gè)商家的“平均送達(dá)時(shí)間”的眾數(shù)及平均數(shù);
(2)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),回答以下問(wèn)題:
(。榱私馊绾谓档透魃碳业乃筒蜁r(shí)間,我們先從這100家商家里選出平均送達(dá)時(shí)間不超過(guò)20分鐘的商家,然后再?gòu)闹须S機(jī)挑選兩家進(jìn)行跟蹤研究,求恰好所抽中的商家均為使用B款軟件的概率.
(ⅱ)如果你要從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐,你會(huì)選擇哪款?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓的圓心在直線上,且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線過(guò)點(diǎn)且與圓相交,所得弦長(zhǎng)為4,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖為某班35名學(xué)生的投籃成績(jī)(每人投一次)的條形統(tǒng)計(jì)圖,其中上面部分?jǐn)?shù)據(jù)破損導(dǎo)致數(shù)據(jù)不完全。已知該班學(xué)生投籃成績(jī)的中位數(shù)是5,則根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 3球以下(含3球)的人數(shù)為10
B. 4球以下(含4球)的人數(shù)為17
C. 5球以下(含5球)的人數(shù)無(wú)法確定
D. 5球的人數(shù)和6球的人數(shù)一樣多
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)球,現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球,每個(gè)球被取出的可能性相等.
(Ⅰ)求取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為相同數(shù)字的概率;
(Ⅱ)求取出的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之積能被3整除的概率.
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