Question

18．已知設(shè)函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，且f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x+4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用分段函數(shù)表示y=f（|x|），并求該函數(shù)在區(qū)間[-3，2]上的值域；
（3）若函數(shù)y=f（|x|）（x∈[-3，2]）與y=m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）然后求出f（x+1），f（x-1）再代入條件f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x+4中可得方程兩邊對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可求出a，b，c的值從而求出二次函數(shù)f（x）的解析式．
（2）去掉絕對(duì)值，可用分段函數(shù)表示y=f（|x|），并求該函數(shù)在區(qū)間[-3，2]上的值域；
（3）若函數(shù)y=f（|x|）（x∈[-3，2]）與y=m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象求m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x+4
∴a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x+4
∴2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x+4
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{2b=-4}\\{2a+2c=4}\end{array}\right.$
∴a=1，b=-2，c=1
∴f（x）=x²-2x+1；
（2）y=f（|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$，
∵f（-3）=4，f（0）=1，f（2）=1，f（1）=0，
∴該函數(shù)在區(qū)間[-3，2]上的值域?yàn)閇0，4]；
（3）如圖所示，∵函數(shù)y=f（|x|）（x∈[-3，2]）與y=m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴1＜m≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次函數(shù)解析式的求解．解題的關(guān)鍵是會(huì)設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的解析表達(dá)式．