Question

已知，

m

=（2cosωx+2

3

sinωx，1），

n

=（cosωx，-2），若函數(shù)f（x）=

m

•

n

的圖象的一個對稱中心為（

π

12

，-1），其中|ω|≤1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)的邊長，若f（

A

2

）=-2，且a=2，b+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運用向量的數(shù)量積的坐標表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數(shù)的對稱中心，計算即可得到f（x）的解析式；
（2）由A為三角形的內(nèi)角，結(jié)合條件可得A=

π

3

，再由余弦定理和面積公式，計算即可得到．

解答： 解：（1）由

m

=（2cosωx+2

3

sinωx，1），

n

=（cosωx，-2），
則函數(shù)f（x）=

m

•

n

=2cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-2=cos2ωx+

3

sin2ωx-1
=2sin（2ωx+

π

6

）-1，
由f（x）的圖象的一個對稱中心為（

π

12

，-1），
即有

π

6

ω+

π

6

=kπ，即為ω=6k-1，（k∈Z），
由于|ω|≤1，即有ω=-1．
則f（x）=2sin（-2x+

π

6

）-1；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（-2x+

π

6

）-1，
故f（

A

2

）=-1+2sin（-A+

π

6

）=-2，
解得sin（-A+

π

6

）=-

1

2

，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
由A為三角形的內(nèi)角，
可得A-

π

6

=

π

6

，解得A=

π

3

，
由余弦定理可得2²=b²+c²-2bccosA，
化簡可得4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-3bc，
解得bc=4，
故△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×4sin

π

3

=

3

．

點評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示和二倍角公式及兩角和的正弦公式，主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，同時考查余弦定理和面積公式的運用，屬于中檔題．