Question

已知函數(shù)f（x）=log₅

1+x

1-x

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）證明f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）解不等式：f（x）＜f（1-x）．（提示：若ab（或

a

b

）＞0，則有

a＞0 b＞0

或

a＜0 b＜0

）

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由

1+x

1-x

＞0，求得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）．
（2）先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)歷來判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，解出即可．

解答： 解：（1）∵

1+x

1-x

＞0，
∴即-1＜x＜1
∴函數(shù)f（x）的定義域（-1，1）．
（2）∵f（x）=log₅

1+x

1-x

．
∴f′（x）=

1

1+x 1-x •ln5

•

2

(1-x)2

=

2

(1-x2)ln5

＞0，
∴f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)
（3）由f（x）＜f（1-x）得，
log₅

1+x

1-x

＜log₅

2-x

x

．
由于f（x）是增函數(shù)
∴

1+ x

1-x

＜

2-x

x

，
解得，x＜

1

2

∴0＜x＜

1

2

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)的函數(shù)的定義域單調(diào)性和不等式的解法，屬于中檔題．