Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在數(shù)列{b_n}中，b_n=a_n•log₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)a_n與S_n的關(guān)系，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，利用錯位相減法即可求數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答： 解：（ I）∵a_n+1=2S_n+1（n≥1），∴a_n=2S_n-1+1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₁=1，a₂=2a₁+1=3，
∴a₂=3a₁，∴an+1=3an(n∈N*)．
∵a₁=1，∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴an=3n-1(n∈N*)．
（ II）∵bn=an•log3an=(n-1)•3n-1，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=0•3⁰+1•3¹+…+（n-1）•3^n-1
∴3Sn=0•31+1•32+…+(n-2)•3n-1+(n-1)•3n，
∴-2Sn=31+32+…+3n-1-(n-1)•3n，
∴-2Sn=

3×(1-3n-1)

1-3

-(n-1)•3n=(

3

2

-n)•3n-

3

2

，
∴Sn=(

n

2

-

3

4

)•3n+

3

4

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用，考查數(shù)列求和，要求熟練掌握錯位相減法進行求和，考查學(xué)生的運算能力．