Question

已知函數(shù)f（x）=cos（ωx-

π

3

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

，x∈R（ω＞0），且函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為

π

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）將函數(shù)g（x）=f（x）+1的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，求m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行三角恒等變換，進(jìn)一步利用周期確定函數(shù)的解析式，最后求出單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）=f（x）+1=2sin（4x-

π

6

）-1+1=2sin（4x-

π

6

）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，所得g（x）=2sin[（4(x+m)-

π

6

]的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則：4m-

π

6

=kπ（k∈Z）進(jìn)一步求出m的最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=cos（ωx-

π

3

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

=cosωxcos

π

3

+sinωxsin

π

3

+sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-（1+cosωx）=

3

sinωx-cosωx-1=2sin（ωx-

π

6

）-1
由于函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為

π

2

．
所以：T=

2π

ω

=

π

2

解得：ω=4
則：f（x）=2sin（4x-

π

6

）-1
令：2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：

kπ

2

-

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

π

6

]（k∈Z）
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+1=2sin（4x-

π

6

）-1+1=2sin（4x-

π

6

）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，
所得g（x）=2sin[（4(x+m)-

π

6

]的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
則：4m-

π

6

=kπ（k∈Z）
所以m=

kπ

4

+

π

24

由于m＞0
則：當(dāng)k=0時(shí)，m的最小值為：

π

24

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角關(guān)系式的恒等變換，利用周期確定函數(shù)的解析式，進(jìn)一步確定單調(diào)區(qū)間，函數(shù)圖象的變換，利用函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱確定m的值．