Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)．
（1）設(shè)g（x）=lnx-f′（x）f（x），求g（x）的最大值及相應(yīng)的x的值；
（2）對任意正數(shù)x，恒有f（x）+f（

1

x

）≥（x+

1

x

）•lnm，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運算

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先化簡函數(shù)g（x）=lnx-f′（x）f（x）=lnx-（2x-1）（x²-x），從而求定義域；再求導(dǎo)g′（x）=-

(6x2+1)(x-1)

x

；從而確定函數(shù)的最大值及最大值點；
（2）f（x）+f（

1

x

）≥（x+

1

x

）•lnm可化為x²-x+

1

x2

-

1

x

≥（x+

1

x

）•lnm；從而化為lnm≤

x2-x+ 1 x2 - 1 x

x+ 1 x

；化簡得

(x+ 1 x )2-2

x+ 1 x

-1=（x+

1

x

）-

2

x+ 1 x

-1；從而利用換元法求函數(shù)的最值，從而化恒成立問題為最值問題．

解答： 解：（1）g（x）=lnx-f′（x）f（x）=lnx-（2x-1）（x²-x），
故g（x）的定義域為（0，+∞）；
g′（x）=-

(6x2+1)(x-1)

x

；
故當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0；
故當(dāng)x=1時，g（x）取得最大值，
g_max（x）=g（1）=0-0=0；
（2）f（x）+f（

1

x

）≥（x+

1

x

）•lnm可化為
x²-x+

1

x2

-

1

x

≥（x+

1

x

）•lnm；
又∵x＞0；
故lnm≤

x2-x+ 1 x2 - 1 x

x+ 1 x

=

(x+ 1 x )2-2

x+ 1 x

-1
=（x+

1

x

）-

2

x+ 1 x

-1；
令x+

1

x

=t，則t≥2；
則由t-

2

t

-1在[2，+∞）上是增函數(shù)知，
（t-

2

t

-1）_min=2-1-1=0；
故任意正數(shù)x，恒有f（x）+f（

1

x

）≥（x+

1

x

）•lnm可化為
lnm≤0；
故0＜m≤1；
故實數(shù)m的取值范圍為（0，1]．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題化為最值問題的方法，同時考查了換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．