Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過任作一條與坐標(biāo)軸都不垂直的直線，與交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，與軸垂直

（1）求橢圓的方程

（2）若是該橢圓上位于第一象限的一點(diǎn)，過作圓的切線，切點(diǎn)為，求的值；

（3）設(shè)為定點(diǎn)，直線過點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)，，求的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義可求得；再利用斜率得到，利用的關(guān)系求得結(jié)果；（2）假設(shè)，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出；再利用直角三角形求解出切線長(zhǎng)，作差得到結(jié)果；（3）假設(shè)直線為和兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量關(guān)系表示出和，將直線代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出，整理得到結(jié)果.

（1）的周長(zhǎng)為

根據(jù)橢圓定義可知：

當(dāng)斜率為時(shí)：，，

可得：

橢圓的方程

（2）設(shè)，則

連接，由相切條件知：

（3）由題意可知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為

令，可得，則

設(shè)，

由得，則

即

由，可得，即

將，代入橢圓中，可得：

由韋達(dá)定理得，