Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+2ax²-3a²x+5．
（1）當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)x∈[2a，2a+2]時(shí)，不等式|f′（x）|≤3a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出$a=\frac{3}{2}$時(shí)的f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+3{x}^{2}-\frac{27}{4}x+5$，求f′（x），根據(jù)該導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其極值；
（2）求f′（x）=-x²+4ax-3a²，根據(jù)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸即可判斷該導(dǎo)函數(shù)在[2a，2a+2]上單調(diào)遞減，從而求得a²-4≤f′（x）≤a²，根據(jù)|f′（x）|≤3a即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+3{x}^{2}-\frac{27}{4}x+5$，$f′（x）=-{x}^{2}+6x-\frac{27}{4}$；
令f′（x）=0得，x=$\frac{3}{2}$，或$\frac{9}{2}$；
∴$x∈（-∞，\frac{3}{2}）$時(shí)，f′（x）＜0，x$∈（\frac{3}{2}，\frac{9}{2}）$時(shí)，f′（x）＞0，x$∈（\frac{9}{2}，+∞）$時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$（-∞，\frac{3}{2}），（\frac{9}{2}，+∞）$，單調(diào)增區(qū)間為$[\frac{3}{2}，\frac{9}{2}]$；
$x=\frac{3}{2}$時(shí)f（x）取得極小值$\frac{1}{2}$，x=$\frac{9}{2}$時(shí)取得極大值5；
（2）f′（x）=-x²+4ax-3a²，f′（x）對(duì)稱軸為x=2a；
∴f′（x）在區(qū)間[2a，2a+2]上單調(diào)遞減；
∴f′（2a+2）≤f′（x）≤f′（2a）；
∴a²-4≤f′（x）≤a²；
又-3a≤f′（x）≤3a；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-4≥-3a}\\{{a}^{2}≤3a}\end{array}\right.$，解得：
1≤a≤3；
∴a的取值范圍是[1，3]．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)極值的概念，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間及其極值的方法與過程，熟悉一元二次不等式解的情況，二次函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．