Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-4（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_n$lo{g}_{\sqrt{2}}{a}_{n}$，試求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n＞1}\end{array}\right.$，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-4，
解得a₁=4，
當(dāng)n＞1時(shí)，S_n=2a_n-4（n∈N^*）．
S_n-1=2a_n-1-4（n∈N^*）．
有S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1=a_n，
即有a_n=2a_n-1，
則數(shù)列{a_n}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹；
（2）b_n=a_n$lo{g}_{\sqrt{2}}{a}_{n}$=2ⁿ⁺¹•2（n+1）=（n+1）•2ⁿ⁺²，
T_n=2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²，
2T_n=2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³，
兩式相減可得，-T_n=2•2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²-（n+1）•2ⁿ⁺³
=2³+$\frac{8（1-{2}^{n}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺³=-n•2ⁿ⁺³，
則有T_n=n•2ⁿ⁺³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和方法：錯(cuò)位相減法，主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．