Question

6．已知點(diǎn)A（0，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），B（$\frac{1}{2}$，0），以線段AB為邊，在第一象限內(nèi)作正三角形ABC，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，與x軸，y軸分別交于D、E，且ED∥AB．
（1）求線段OE及BD的長(zhǎng)；
（2）求一次函數(shù)y=kx+b的解析式；
（3）如果S_△ABP=S_△ABC，且點(diǎn)P（a，4$\sqrt{3}$）（a＞0），求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出原點(diǎn)與線段AB的距離，三角形ABC的高，利用相似比求解線段OE及BD的長(zhǎng)．
（2）利用點(diǎn)斜式求解直線方程即可．
（3）利用點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合三角形的面積求解即可．

解答 解：（1）原點(diǎn)到直線AB的距離為：d=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}×\frac{1}{2}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{15}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
三角形ABC的高為：$\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{{（\frac{\sqrt{15}}{2}）}^{2}+{（\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{3}$，ED∥AB，可得
△OAB∽EOD$\frac{OA}{OE}=\frac{\frac{\sqrt{15}}{8}}{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{15}}{8}}$，可得OE=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}（\sqrt{3}+\frac{\sqrt{15}}{8}）}{\frac{\sqrt{15}}{8}}$=4$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
$\frac{BD}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{8}}$，可得BD=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{15}}{8}}×\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
（2）AB的斜率為：$-\sqrt{15}$，
ED的方程為：y=-$\sqrt{15}$（x-4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{15}}{2}$）．
即y=$-\sqrt{15}$x-12$\sqrt{5}$+$\frac{15}{2}$．
（3）如果S_△ABP=S_△ABC，且點(diǎn)P（a，4$\sqrt{3}$）（a＞0），AB的方程為：$\frac{x}{\frac{1}{2}}+\frac{y}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=1$
可得$\sqrt{3}$=$\frac{|2a+\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{15}}-1|}{\sqrt{{（\frac{\sqrt{15}}{2}）}^{2}+{（\frac{1}{2}）}^{2}}}$，
解得a=$\frac{1}{2}±\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的應(yīng)用，三角形的幾何計(jì)算，三角形相似的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．