Question

14．設(shè)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若在定義域內(nèi)存在x₀，使f（x₀）≤m能成立，求m的最小值
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-x²-x-a在[0，2]上有且只有一個零點，求實數(shù)a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得f（x）的極小值，最小值，由不等式成立的思想，可得m的范圍，進而得到m的最小值；
（2）先求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論其單調(diào)性，得到$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$或或g（1）=0，繼而求出范圍．

解答 解：（1）f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2（x+1）-$\frac{2}{x+1}$
=$\frac{2x（x+2）}{x+1}$，
當(dāng)x＞0時，導(dǎo)數(shù)大于0，f（x）遞增；當(dāng)-1＜x＜0時，導(dǎo)數(shù)小于0，f（x）遞減，
即有x=0處取得極小值，也為最小值，且為1，
由題意可得，m≥1，
則有m的最小值為1；
（2）由已知得g（x）=f（x）-x²-x-a，
∴g′（x）=f′（x）-2x-1=2（x+1）-$\frac{2}{x+1}$-2x-1=$\frac{x-1}{x+1}$，
∴當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜1，g′（x）＜0，
∴當(dāng)x∈[0，1]，g′（x）＜0，此時F（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[1，2]，g′（x）＞0，此時F（x）單調(diào)遞增，
∴g（0）=1-a，g（2）=-3-2ln3-a，g（0）＞g（2），
∵函數(shù)g（x）=f（x）-x²-x-a在[0，2]上只有一個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{g（2）＜0}\end{array}\right.$或g（1）=0，
解得3-2ln3＜a≤1，或a=2-2ln2．
故實數(shù)a的取值范圍是3-2ln3＜a≤1，或a=2-2ln2．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查不等式成立的條件和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．