Question

若函數(shù)f（x）=log_a（ax²-x）（a＞0，a≠1）在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（

  1

  3

  ，1）
• C、[

  1

  8

  ，

  1

  3

  ）∪（1，+∞）
• D、[

  1

  8

  ，

  1

  4

  ）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：分當a＞1時和當0＜a＜1時兩種情況，分別利用復合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)u（x）=ax²-x的性質(zhì)，求得a的范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：①當a＞1時，令u（x）=ax²-x，則函數(shù)u的對稱軸為x=

1

2a

＜

1

2

，f（x）=log_au（x），
由于函數(shù)u（x）在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)，f（x）在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)，
故有u（3）=9a-3＞0，求得a＞

1

3

，故a＞1滿足條件．
②當0＜a＜1時，由于函數(shù)y=log_au在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
由題意可得u（x）=ax²-x在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)，故有

1 2a ≥4 u(4)=16a-4＞0

，求得a∈∅．
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞），
故選：A．

點評：本題主要考查復合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．