Question

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（2，2ⁿ⁺¹）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_n，則數(shù)列{（n+1）a_n}的前n項(xiàng)和為（　　）

• A、n²-1
• B、n²+1
• C、n²-n
• D、n²+n

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出切線的斜率：函數(shù)曲線y=xⁿ⁺¹在x=2出的導(dǎo)數(shù)值，再由點(diǎn)斜式寫出切線方程，令y=0求出a_n，最后求數(shù)列{（n+1）a_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：∵y=xⁿ⁺¹，
∴y′=（n+1）•xⁿ，
∴直線的方程為y-2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ•（x-2），
令y=0得a_n=

2n

n+1

，
∴（n+1）a_n=2n，
∴數(shù)列{（n+1）a_n}的前n項(xiàng)和為2×

n(n+1)

2

=n²+n．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及直線方程等有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．