Question

12．已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線x²-y²=-$\frac{1}{2}$的一個焦點(diǎn)重合；且在拋物線上有一動點(diǎn)P到x軸的距離為m，P到直線l：2x-y-4=0的距離為n，則m+n的最小值為$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 先求出拋物線的方程，根據(jù)拋物線的定義，可得m+n最小值是焦點(diǎn)到直線l₁：2x-y-4=0的距離減去1，由點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)論．

解答 解：雙曲線x²-y²=-$\frac{1}{2}$的一個焦點(diǎn)為（0，1），∴拋物線的方程為x²=4y，
根據(jù)拋物線的定義，可得m+n最小值是焦點(diǎn)到直線l₁：2x-y-4=0的距離減去1．
由點(diǎn)到直線的距離公式可得焦點(diǎn)到直線l₁：2x-y-4=0的距離d=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
∴m+n的最小值為$\sqrt{5}$-1．
故答案為：$\sqrt{5}$-1．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．