Question

12．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-18，其前n項和為S_n．
（1）求S_n的最小值；
（2）求出S_n取最小值時n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)據(jù)可得等差數(shù)列{a_n}的公差d，進而可得a₁，可得S_n，由二次函數(shù)可得；
（2）由（1）的求解過程可得．

解答 解：（1）∵在等差數(shù)列{a_n}中a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-18，
∴a₁₆+a₁₇+a₁₈=3a₁₇=-18，∴a₁₇=-6，
∴公差d=$\frac{{a}_{17}-{a}_{9}}{17-9}$=$\frac{-6-（-18）}{8}$=$\frac{3}{2}$，
∴a₉=a₁+8d=a₁+8×$\frac{3}{2}$=-18，解得a₁=-30，
∴S_n=-30n+$\frac{n（n-1）}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{4}$（3n²-123n），
由二次函數(shù)可知當(dāng)n=$-\frac{-123}{2×3}$=20$\frac{1}{2}$時取最小值，
結(jié)合n為正整數(shù)和二次函數(shù)的對稱性可知當(dāng)n=20或21時，S_n取最小值，
代值計算可得S₂₁=S₂₀=$\frac{1}{4}$（3×20²-123×20）=-315；
（2）由（1）知當(dāng)S_n取最小值時n的值為20或21．

點評 本題考查等差數(shù)列的求和公式和二次函數(shù)的最值，屬中檔題．