Question

20．設(shè)函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足對(duì)任意的x∈R，f（x）≥0且f²（x+1）+f²（x）=9．已知f（$\frac{1}{2}$）=2，則f（$\frac{2015}{2}$）=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件f²（x+1）+f²（x）=9得到函數(shù)f（x+2）=f（x），即函數(shù)的周期是2，利用函數(shù)的周期性進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f²（x+1）+f²（x）=9，即 f²（x+1）=9-f²（x），
∴f²（x+2）=9-f²（x+1），化簡(jiǎn)可得 f²（x+2）=9-[9-f²（x）]=f²（x）．
再由 函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足對(duì)任意的x∈R，f（x）≥0，
可得 f（x+2）=f（x），
故函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)．
則f（$\frac{2015}{2}$）=f（$\frac{2015}{2}$）=f（1007+$\frac{1}{2}$）=f（1006+1+$\frac{1}{2}$）=f（1+$\frac{1}{2}$），
∵f²（x+1）+f²（x）=9．f（$\frac{1}{2}$）=2，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，f²（$\frac{1}{2}$+1）=9-f²（$\frac{1}{2}$）=9-4=5，
即f（1+$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{5}$，
即f（$\frac{2015}{2}$）=f（1+$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．