Question

20．已知Rt△ABC中，直角邊AC、BC的長度分別為20、15，動點P從C出發(fā)，沿三角形邊界按C→B→A方向移動；動點Q從C出發(fā)，沿三角形邊界按C→A→B方向移動，移動到兩點相遇時為止，且點Q移動的速度是點P移動的速度的2倍．設(shè)動點P移動的距離為x，△CPQ的面積為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 根據(jù)點Q移動的速度是點P移動的速度的2倍，得到動點Q移動的距離為2x，根據(jù)點P，Q的位置，結(jié)合三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：∵Rt△ABC中，AC=20，BC=15，
∴AB=25，sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$，
∵點Q移動的速度是點P移動的速度的2倍，
∴設(shè)動點P移動的距離為x，則動點Q移動的距離為2x，
若兩點相遇時，則滿足x+2x=20+15+25，
即3x=60，即x=20．
①若Q在BC上，則0≤2x≤15，即0≤x≤$\frac{15}{2}$時，
△CPQ的面積為y=$\frac{1}{2}$•CQ•CP=$\frac{1}{2}•x•2x$=x²．
②若Q在AB上，P在CA上時，滿足$\left\{\begin{array}{l}{15≤2x≤40}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15}{2}≤x≤20}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$．
解得$\frac{15}{2}$≤x≤20，
則BQ=2x-BC=2x-15，BE=BQcosB=（2x-15）×$\frac{3}{5}$=$\frac{3（2x-15）}{5}$，
則三角形CPQ的高QF=EC=BC-BE=15-$\frac{3（2x-15）}{5}$=$\frac{120-6x}{5}$，
則△CPQ的面積為y=$\frac{1}{2}$•QF•CP=$\frac{1}{2}•x•$$\frac{120-6x}{5}$=$\frac{-3{x}^{2}+60x}{5}$，
即y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{0≤x≤\frac{15}{2}}\\{\frac{-3{x}^{2}+60x}{5}，}&{\frac{15}{2}＜x≤20}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件結(jié)合點P，Q的位置關(guān)系，利用三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．